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21. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

21.3

Wie wahrscheinlich ist es, dass Sie beim gerade getätigten Atemzug zumindest ein Molekül einatmen, das Julius Caesar bei seinem letztes Atemzug (Auch du, Brutus!) ausgeatmet hat? Nehmen Sie ein Atemvolumen von 3 Liter und  2.7 10^22 Moleküle pro Liter an.

Lösungsweg

Mittleres Luftvolumen der Erde bei etwa 10 km Höhe der Atmosphäre ist näherungsweise  

4 π r^2h = 4 π (6.4 10^6)^210^4 m^3 =5.14719*10^^18 m^3=5.14719×10^21l

Das sind also N=1.4 10^44  Moleküle; ein Atemzug enthält A=8 10^22 Moleküle. Bei gleichmäßiger Durchmischung ist die Wahrscheinlichkeit, zumindest eines von A (Caesar) aus N Molekülen zu finden

p = A/N = 5.7 10^22 .

Da A<< N, ändert sich p nur unwesentlich, wenn ein "markiertes" Molekül eingeatmet wird. Die Wahrscheinlichkeit, {\em kein} solches einzuatmen ist daher

(1 - p)^A = exp (A ln (-p)) = exp (-A p) ≈1.4 10^(-20) ,

also praktisch null. Jeden Ihrer Atemzüge teilen Sie mit Caesar!

Alternatives Argument:  
Die Poisson-Verteilung (μ=A^2/N) für k=0 gibt die Wahrscheinlichkeit, kein markiertes Molekül einzuatmen, also exp(-μ), welches den gleichen Wert liefert.


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